İterasyonlu tek-şekilli (unimodal) haritalamanın basit bir uygulaması olan devre Robert May’in 1976 yılında oluşturduğu kaotik davranış gösteren basit doğrusal olmayan denklemlerin oluşturduğu lojistik harita ( logistic map) kavramına dayanır. Bu devre özellikle öğrencilere kaotik ayrık-zaman dinamiğini veya random üretecini göstermek için çok faydalı olacaktır.
Devre Vk+1 = rF(Vk) formülünü uygular. Burada F “bump” diye bilinen bir doğrusal olmayan tek-şekilli fonksiyonu temsil eder. Bu devrenin yanıtı aşağıdaki Vout -Vin grafiğinde gösterilmektedir.
Devrenin şeması ise aşağıdadır. Burada r, U1b ile sağlanan bir kazanç faktörüdür. U1a ve U3a basit tampon (buffer) devreleridir. Saat işaretinin düşük seviyesinde, doğrusal olmayan fonksiyonun çıkış gerilimi C1 kondansatöründe saklanır. Saat işareti yüksek seviyeye çıktığında bu saklanan gerilim C2 ye transfer edilir ve tek-şekilli fonksiyonun girişi olacaktır. Devrenin kaynak gerilimi 12V’tur. S3 (4066 anahtarının ¼’ü) bir tersleyici (inverter) olarak kullanılmıştır.
r’nin düşük kazanç ayarında, iterasyon başlangıç noktasında (sıfır volt) olup kararlı bir dengede durmaktadır: V* = rF(V*). Kazanç arttırılarak, devre kararlı bir denge durumundan n-periyodik osilasyon durumuna geçer. N-periyodik osilasyonun iterasyon işlemleri n-yinelemeli harita eşitliğinde görülebilir: Örneğin 3-periyodik osilasyon için V* = rF(rF(rF(V*))). r=4.7 değeri için aşağıdaki osiloskop görüntüsünde bu görülmektedir (kırmızı iz: Vk, mavi iz: saat).
Kazancın daha fazla arttırılması bizi kaosa götürür. Teoride her bir başlangıç durumu veya başlangıç gerilimi yinelemelerin asla tekrarlanmayan bir sıralamasını oluşturacaktır. Lojistik harita xn+1 = rxn(1-xn) bu tür iterasyonlu kaotik sistemlerin en çok bilinen modelidir ve parabolik bir fonksiyonu kullanır. Bununla beraber “mod-harita” gibi devam etmeyen haritalar ve “çadır (tent) harita” gibi düzgün(smooth) olmayan haritaları da içeren herhangi bir tek-şekilli harita kaosa gidebilir. Dolayısıyla bu basit devrenin kullanımı Q1 transistörü etrafındadır.
Aşağıdaki şekilde r=6.7 için oluşan davranış görülmektedir. Burada osiloskobun persistence ayarı sonsuza ayarlanmış ve tetikleme elde edilen gerilimlerin en üst seviyesine mümkün olduğunca yakın tutulmuştur. Aşağıdaki şekil deterministik kaosun önemli bir özelliğini göstermektedir: başlangıç koşullarına çok hassas bir bağlantı bulunması. Seçilen başlangıç koşulunun yakınlarında (çok az farklı) başlangıç koşulları (tetikleme gerilimleri) farklılaşan yineleme serileri elde etmemizi sağlar. Yani bu basitçe bir nevi “olay ufku - event horizon” durumudur. Bir sonraki iterasyonu tahminlemek kolaydır, fakat bulunan durumdan, örneğin 20 iterasyon sonrasını tahminlemek neredeyse imkansızdır. Çünkü başlangıç koşulunu artık çok hassas bilemiyor olacağız.
Bu devre bir rasgele sayı üreteci veya kaosun gerçek hayat uygulaması olarak kullanılabilecektir.
Kaynak: Lars Keuninckx’in 13 Temmuz 2016 daki www.edn.com sitesindeki yazısından çevrilmiştir.